2022.2.18

场的矢量分析

张量(tensor)
标量(0_tensor)
矢量(1_tensor)

三矢量混合积：

$a\cdot (b\times c)$ --> 平行六面体的体积
上述满足行列式的运算规则～

重要公式：
$c\times (a\times b)=(b\cdot c)a-(a\cdot c)b$
$\downarrow$
向量$f$一定是在$a,b$平面内
三向量叉乘没有结合律

矢量分解:
(上面的公式反过来即可)

微分算子$\nabla$
$\nabla$具有微分、矢量两重特性。
散度：$\nabla \cdot f$ ->标量
旋度：$\nabla \times f$ ->矢量
梯度：$\nabla \phi$ ->矢量

*莱布尼茨法则思考：实际上是四项，但是有两个是无穷小(含有dx,dy)，所以最终是只剩两项了😀

$\nabla$的微分性质:

$\nabla(\vec f \cdot \vec g)=\nabla(\vec f_c \cdot \vec g)+\nabla(\vec f\cdot \vec g_c)$

复合函数的微分算子：

$\nabla f(u)=\nabla u \frac{df(u)}{du}$

$\nabla=\nabla u\frac{d}{du}$

r的梯度就是单位向量，

$\nabla r=\vec e_r$

$\nabla \frac{1}{r}=-\frac{\vec e_r}{r^2}=\frac{\vec r}{r^3}$

今日作业：
P33, 1、2、3 题

2022.2.22

基本张量代数：
什么是正交矩阵？

同指标求和，为何消项？

二阶张量：
任何一个张量都可以分解为三个部分：
- 迹（标量）$T_{ii}$自由度为1；
- 无迹对称张量$T_{ij}=T_{ji}$；且$T_{ii}=0$自由度为5；
- 反对称张量$T_{ij}=-T_{ji}$；自由度为3

KRONECKER Delta: $\delta_{ij}$
LEVI-CIVITA Symbol $\epsilon_{ijk}$

$(\Delta \times \vec A)_i=\epsilon_{ijk}(\frac{d}{dx_j} A_k)\quad偏导$

回去复习一下张量的运算法则和底层意义...

今日作业：
无